ग्राफ सांकेतिक है. घातीय फलन, उसके गुण और ग्राफ़। एक स्थिर फलन के गुण

आइए चर x=2 के विभिन्न तर्कसंगत मानों के लिए अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करें; 0; -3; -

ध्यान दें कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम चर x के लिए कौन सी संख्या प्रतिस्थापित करते हैं, हम हमेशा इस अभिव्यक्ति का मान पा सकते हैं। इसका मतलब यह है कि हम तर्कसंगत संख्याओं के सेट पर परिभाषित एक घातीय फ़ंक्शन (ई, एक्स की शक्ति के तीन के बराबर है) पर विचार कर रहे हैं:।

आइए इसके मानों की एक तालिका संकलित करके इस फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं।

आइए इन बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक चिकनी रेखा खींचें (चित्र 1)

इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ का उपयोग करते हुए, आइए इसके गुणों पर विचार करें:

3.परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में वृद्धि।

1. शून्य से प्लस अनंत तक मानों की सीमा।

8. फलन नीचे की ओर उत्तल है।

यदि हम एक समन्वय प्रणाली में कार्यों के ग्राफ़ बनाते हैं; y=(y, x की घात के दो के बराबर है, y, x की घात के पांच के बराबर है, y, x की घात के सात के बराबर है), तो आप देख सकते हैं कि उनके पास y= के समान गुण हैं (y, x की घात तीन के बराबर है) (चित्र 2), अर्थात, y = के रूप के सभी फलन (y, x की घात के लिए a के बराबर है, एक से अधिक के लिए) ऐसे होंगे गुण।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें:

1. इसके मूल्यों की एक तालिका संकलित करना।

आइए हम निर्देशांक तल पर प्राप्त बिंदुओं को चिह्नित करें।

आइए इन बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक चिकनी रेखा खींचें (चित्र 3)।

इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ का उपयोग करके, हम इसके गुणों को दर्शाते हैं:

1. परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

2. न तो सम है और न ही विषम।

3.परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में कमी।

4. इसमें न तो सबसे बड़ा और न ही सबसे छोटा मान है।

5.नीचे तक सीमित, लेकिन ऊपर तक सीमित नहीं।

6.परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में निरंतर।

7. शून्य से प्लस अनंत तक मानों की सीमा।

8. फलन नीचे की ओर उत्तल है।

इसी प्रकार, यदि हम एक समन्वय प्रणाली में फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाते हैं; y = (y, x की घात के आधे के बराबर है, y, x की घात के पांचवें के बराबर है, y, x की घात के सातवें हिस्से के बराबर है), तो आप देख सकते हैं कि उनके पास है y = के समान गुण (y, घात x के एक तिहाई के बराबर है (चित्र 4), अर्थात, y = रूप के सभी कार्यों में ऐसे गुण होंगे (y, a से विभाजित एक के बराबर है) x शक्ति, शून्य से अधिक लेकिन एक से कम के साथ)

आइए एक समन्वय प्रणाली में कार्यों के ग्राफ़ बनाएं

इसका मतलब यह है कि फ़ंक्शन y=y= के ग्राफ़ भी a के समान मान के लिए सममित होंगे (y, a से x घात के बराबर है और y, a से x घात से विभाजित एक के बराबर है)।

आइए घातीय फ़ंक्शन को परिभाषित करके और इसके मुख्य गुणों को इंगित करके जो कहा गया है उसे संक्षेप में प्रस्तुत करें:

परिभाषा: y= के रूप का एक फलन, जहां (a, a की घात x के बराबर है, जहां a धनात्मक है और एक से भिन्न है), एक घातांकीय फलन कहलाता है।

घातीय फ़ंक्शन y= और पावर फ़ंक्शन y=, a=2,3,4,… के बीच अंतर को याद रखना आवश्यक है। श्रव्य और दृश्य दोनों तरह से। घातांकीय फलन एक्सएक शक्ति है, और एक शक्ति कार्य के लिए एक्सआधार है.

उदाहरण1: समीकरण को हल करें (तीन की घात x नौ के बराबर है)

(Y, X की घात तीन के बराबर है और Y, नौ के बराबर है) चित्र 7

ध्यान दें कि उनके पास एक सामान्य बिंदु एम (2;9) (एम निर्देशांक दो; नौ) के साथ है, जिसका अर्थ है कि बिंदु का भुज इस समीकरण का मूल होगा। अर्थात्, समीकरण का एक ही मूल x = 2 है।

उदाहरण 2: समीकरण हल करें

एक समन्वय प्रणाली में, हम फ़ंक्शन y= के दो ग्राफ़ बनाएंगे (y, x की घात के पांच के बराबर है और y एक पच्चीसवें के बराबर है) चित्र 8। ग्राफ़ एक बिंदु T (-2; (निर्देशांक शून्य से दो; एक पच्चीसवें के साथ) पर प्रतिच्छेद करते हैं। इसका मतलब है कि समीकरण का मूल x = -2 (संख्या शून्य से दो) है।

उदाहरण 3: असमानता को हल करें

एक समन्वय प्रणाली में हम फ़ंक्शन y= के दो ग्राफ़ बनाएंगे

(Y, X की घात तीन के बराबर है और Y सत्ताईस के बराबर है)।

चित्र.9 फ़ंक्शन का ग्राफ़ फ़ंक्शन y=at के ग्राफ़ के ऊपर स्थित है

x इसलिए, असमानता का समाधान अंतराल है (शून्य से अनंत तक तीन तक)

उदाहरण 4: असमानता को हल करें

एक समन्वय प्रणाली में, हम फ़ंक्शन y= के दो ग्राफ़ बनाएंगे (y, x की घात के एक चौथाई के बराबर है और y सोलह के बराबर है)। (चित्र 10)। ग्राफ़ एक बिंदु K (-2;16) पर प्रतिच्छेद करते हैं। इसका मतलब यह है कि असमानता का समाधान अंतराल (-2; (शून्य से दो से प्लस अनंत तक) है, क्योंकि फ़ंक्शन y= का ग्राफ़ x पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के नीचे स्थित है

हमारा तर्क हमें निम्नलिखित प्रमेयों की वैधता को सत्यापित करने की अनुमति देता है:

थीम 1: यदि सत्य है यदि और केवल यदि m=n।

प्रमेय 2: यदि सत्य है यदि और केवल यदि, असमानता सत्य है यदि और केवल यदि (चित्र *)

प्रमेय 4: यदि सत्य है यदि और केवल यदि (चित्र**), असमानता सत्य है यदि और केवल यदि। प्रमेय 3: यदि सत्य है यदि और केवल यदि m=n।

उदाहरण 5: फ़ंक्शन y= का ग्राफ़ बनाएं

आइए डिग्री y= का गुण लागू करके फ़ंक्शन को संशोधित करें

आइए एक अतिरिक्त समन्वय प्रणाली का निर्माण करें और नई समन्वय प्रणाली में हम फ़ंक्शन y = (y, x शक्ति के दो के बराबर है) का एक ग्राफ़ बनाएंगे चित्र 11।

उदाहरण 6: समीकरण हल करें

एक समन्वय प्रणाली में हम फ़ंक्शन y= के दो ग्राफ़ बनाएंगे

(Y, X की घात सात के बराबर है और Y, आठ घटा X के बराबर है) चित्र 12.

ग्राफ़ एक बिंदु E (1; (e निर्देशांक एक; सात के साथ) पर प्रतिच्छेद करते हैं। इसका मतलब है कि समीकरण का मूल x = 1 (x एक के बराबर) है।

उदाहरण 7: असमानता को हल करें

एक समन्वय प्रणाली में हम फ़ंक्शन y= के दो ग्राफ़ बनाएंगे

(Y, X की घात के एक-चौथाई के बराबर है और Y, X जमा पांच के बराबर है)। फ़ंक्शन y= का ग्राफ़ फ़ंक्शन y=x+5 के ग्राफ़ के नीचे स्थित होता है जब असमानता का समाधान अंतराल x (शून्य से एक से प्लस अनंत तक) होता है।

घातांक प्रकार्य a के बराबर n संख्याओं के गुणनफल का सामान्यीकरण है:
य (एन) = ए एन = ए·ए·ए···ए,
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय x के लिए:
य (एक्स) = कुल्हाड़ी.
यहाँ a एक निश्चित वास्तविक संख्या है, जिसे कहा जाता है घातांकीय फलन का आधार.
आधार a के साथ एक घातांकीय फलन भी कहा जाता है आधार a का प्रतिपादक.

सामान्यीकरण निम्नानुसार किया जाता है।
प्राकृतिक x = के लिए 1, 2, 3,... , घातांकीय फलन x कारकों का गुणनफल है:
.
इसके अलावा, इसमें गुण (1.5-8) () हैं, जो संख्याओं को गुणा करने के नियमों का पालन करते हैं। पूर्णांकों के शून्य और ऋणात्मक मानों के लिए, घातांकीय फ़ंक्शन सूत्र (1.9-10) का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। भिन्नात्मक मान x = m/n परिमेय संख्याओं के लिए, यह सूत्र (1.11) द्वारा निर्धारित किया जाता है। वास्तविक के लिए, घातीय फ़ंक्शन को अनुक्रम की सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है:
,
x: में परिवर्तित होने वाली परिमेय संख्याओं का एक मनमाना अनुक्रम कहां है।
इस परिभाषा के साथ, घातीय फ़ंक्शन सभी के लिए परिभाषित किया गया है, और प्राकृतिक x के लिए गुणों (1.5-8) को संतुष्ट करता है।

एक घातीय फ़ंक्शन की परिभाषा और उसके गुणों के प्रमाण का एक कठोर गणितीय सूत्रीकरण "एक घातीय फ़ंक्शन के गुणों की परिभाषा और प्रमाण" पृष्ठ पर दिया गया है।

घातीय फलन के गुण

घातांक फलन y = a x में वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर निम्नलिखित गुण हैं ():
(1.1) परिभाषित और सतत, सबके लिए, सबके लिए;
(1.2) एक ≠ के लिए 1 इसके कई अर्थ हैं;
(1.3) सख्ती से बढ़ता है, सख्ती से घटता है,
पर स्थिर है;
(1.4) पर ;
पर ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

अन्य उपयोगी सूत्र.
.
भिन्न घातांक आधार वाले घातांकीय फलन में परिवर्तित करने का सूत्र:

जब b = e, हम घातांक के माध्यम से घातीय फलन की अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

निजी मूल्य

, , , , .

यह चित्र घातीय फ़ंक्शन के ग्राफ़ दिखाता है
य (एक्स) = कुल्हाड़ी
चार मानों के लिए डिग्री आधार: ए = 2 , ए = 8 , ए = 1/2 और एक = 1/8 . यह देखा जा सकता है कि एक > के लिए 1 घातांकीय फलन नीरस रूप से बढ़ता है। डिग्री ए का आधार जितना बड़ा होगा, विकास उतना ही मजबूत होगा। पर 0 < a < 1 घातांकीय फलन नीरस रूप से घटता है। घातांक a जितना छोटा होगा, कमी उतनी ही अधिक होगी।

आरोही अवरोही

के लिए घातीय कार्य पूरी तरह से एकरस है और इसलिए इसमें कोई चरम सीमा नहीं है। इसके मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किये गये हैं।

उलटा काम करना

आधार a के साथ एक घातांकीय फलन का व्युत्क्रम आधार a का लघुगणक है।

तो अगर
.
तो अगर
.

एक घातांकीय फलन का विभेदन

किसी घातीय फ़ंक्शन को अलग करने के लिए, उसके आधार को संख्या ई तक कम किया जाना चाहिए, डेरिवेटिव की तालिका और एक जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के नियम को लागू करना चाहिए।

ऐसा करने के लिए आपको लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने की आवश्यकता है
और व्युत्पन्न तालिका से सूत्र:
.

मान लीजिए कि एक घातांकीय फलन दिया गया है:
.
हम इसे आधार ई पर लाते हैं:

आइए जटिल कार्यों के विभेदन का नियम लागू करें। ऐसा करने के लिए, वेरिएबल का परिचय दें

तब

डेरिवेटिव की तालिका से हमारे पास (वेरिएबल x को z से बदलें):
.
चूँकि एक स्थिरांक है, x के संबंध में z का अवकलज बराबर है
.
एक जटिल फलन के विभेदन के नियम के अनुसार:
.

एक घातीय फलन का व्युत्पन्न

.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
सूत्र व्युत्पन्न करना > > >

एक घातांकीय फलन को विभेदित करने का एक उदाहरण

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
य = 3 5 एक्स

समाधान

आइए घातीय फलन के आधार को संख्या e के माध्यम से व्यक्त करें।
3 = ई एलएन 3
तब
.
एक वेरिएबल दर्ज करें
.
तब

डेरिवेटिव की तालिका से हम पाते हैं:
.
क्योंकि 5एलएन 3एक स्थिरांक है, तो x के संबंध में z का व्युत्पन्न इसके बराबर है:
.
एक जटिल फलन के विभेदीकरण के नियम के अनुसार, हमारे पास है:
.

उत्तर

अभिन्न

सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए व्यंजक

सम्मिश्र संख्या फलन पर विचार करें जेड:
एफ (जेड) = ए जेड
जहाँ z = x + iy; मैं 2 = - 1 .
आइए जटिल स्थिरांक a को मापांक r और तर्क φ के संदर्भ में व्यक्त करें:
ए = आर ई मैं φ
तब


.
तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। सामान्य रूप में
φ = φ 0 + 2 πn,
जहाँ n एक पूर्णांक है. इसलिए फलन f (जेड)यह भी स्पष्ट नहीं है. इसका मुख्य महत्व प्रायः माना जाता है
.

शृंखला विस्तार

.

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।