Grafiku është tregues. Funksioni eksponencial, vetitë dhe grafiku i tij. Vetitë e një funksioni konstant

Le të gjejmë vlerën e shprehjes për vlera të ndryshme racionale të ndryshores x=2; 0; -3; -

Vini re se pavarësisht se cilin numër e zëvendësojmë ndryshoren x, gjithmonë mund ta gjejmë vlerën e kësaj shprehjeje. Kjo do të thotë se po shqyrtojmë një funksion eksponencial (E është e barabartë me tre me fuqinë e x), të përcaktuar në bashkësinë e numrave racionalë: .

Le të ndërtojmë një grafik të këtij funksioni duke përpiluar një tabelë të vlerave të tij.

Le të vizatojmë një vijë të qetë që kalon nëpër këto pika (Figura 1)

Duke përdorur grafikun e këtij funksioni, le të shqyrtojmë vetitë e tij:

3.Rritet në të gjithë zonën e përcaktimit.

1. varg vlerash nga zero në plus pafundësi.

8. Funksioni është konveks poshtë.

Nëse ndërtojmë grafikët e funksioneve në një sistem koordinativ; y=(y është e barabartë me dy me fuqinë e x, y është e barabartë me pesë me fuqinë e x, y është e barabartë me shtatë me fuqinë e x), atëherë mund të shihni se ato kanë të njëjtat veti si y= (y është e barabartë me tre me fuqinë e x) (Fig. .2), domethënë, të gjitha funksionet e formës y = (y është e barabartë me a me fuqinë x, për një më të madhe se një) do të kenë të tillë Vetitë.

Le të vizatojmë funksionin:

1. Përpilimi i një tabele të vlerave të saj.

Le të shënojmë pikat e marra në planin koordinativ.

Le të vizatojmë një vijë të lëmuar që kalon nëpër këto pika (Figura 3).

Duke përdorur grafikun e këtij funksioni, ne tregojmë vetitë e tij:

1. Fusha e përkufizimit është bashkësia e të gjithë numrave realë.

2. Nuk është as çift dhe as tek.

3. Zvogëlohet në të gjithë domenin e përkufizimit.

4. Nuk ka as vlerat më të mëdha dhe as më të voglat.

5.I kufizuar më poshtë, por jo i kufizuar më lart.

6. E vazhdueshme në të gjithë fushën e përkufizimit.

7. varg vlerash nga zero në plus pafundësi.

8. Funksioni është konveks poshtë.

Në mënyrë të ngjashme, nëse vizatojmë grafikët e funksioneve në një sistem koordinativ; y = (y është e barabartë me gjysmën e fuqisë së x, y është e barabartë me një të pestën e fuqisë së x, y është e barabartë me një të shtatën e fuqisë së x), atëherë mund të vëreni se ata kanë të njëjtat veti si y = (y është e barabartë me një të tretën e fuqisë x (Fig. 4), domethënë, të gjitha funksionet e formës y = do të kenë veti të tilla (y është e barabartë me një të ndarë me a me x fuqi, me një më të madhe se zero por më të vogël se një)

Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve në një sistem koordinativ

Kjo do të thotë se grafikët e funksioneve y=y= do të jenë gjithashtu simetrik (y është i barabartë me a me fuqinë x dhe y është i barabartë me një pjesëtuar me a me fuqinë x) për të njëjtën vlerë të a.

Le të përmbledhim atë që është thënë duke përcaktuar funksionin eksponencial dhe duke treguar vetitë kryesore të tij:

Përkufizimi: Një funksion i formës y=, ku (a është e barabartë me a me fuqinë x, ku a është pozitive dhe e ndryshme nga një), quhet funksion eksponencial.

Është e nevojshme të mbani mend ndryshimet midis funksionit eksponencial y= dhe funksionit të fuqisë y=, a=2,3,4,…. si dëgjimisht ashtu edhe vizualisht. Funksioni eksponencial Xështë një fuqi, dhe për një funksion fuqie Xështë baza.

Shembulli 1: Zgjidheni ekuacionin (tre në fuqinë x është e barabartë me nëntë)

(Y është e barabartë me tre me fuqinë e X dhe Y është e barabartë me nëntë) Fig. 7

Vini re se ata kanë një pikë të përbashkët M (2; 9) (em me koordinatat dy; nëntë), që do të thotë se abshisa e pikës do të jetë rrënja e këtij ekuacioni. Kjo do të thotë, ekuacioni ka një rrënjë të vetme x = 2.

Shembulli 2: Zgjidheni ekuacionin

Në një sistem koordinativ, do të ndërtojmë dy grafikë të funksionit y= (y është i barabartë me pesë me fuqinë e x dhe y është i barabartë me një të njëzetepestën) Fig. 8. Grafikët priten në një pikë T (-2; (te me koordinatat minus dy; një e njëzetepestën). Kjo do të thotë se rrënja e ekuacionit është x = -2 (numri minus dy).

Shembulli 3: Zgjidhja e pabarazisë

Në një sistem koordinativ do të ndërtojmë dy grafikë të funksionit y=

(Y është e barabartë me tre me fuqinë e X dhe Y është e barabartë me njëzet e shtatë).

Fig.9 Grafiku i funksionit ndodhet mbi grafikun e funksionit y=at

x Prandaj, zgjidhja e pabarazisë është intervali (nga minus pafundësia në tre)

Shembulli 4: Zgjidhja e pabarazisë

Në një sistem koordinativ, do të ndërtojmë dy grafikë të funksionit y= (y është i barabartë me një të katërtën e fuqisë së x dhe y është i barabartë me gjashtëmbëdhjetë). (Fig. 10). Grafikët kryqëzohen në një pikë K (-2;16). Kjo do të thotë se zgjidhja e pabarazisë është intervali (-2; (nga minus dy në plus pafundësi), pasi grafiku i funksionit y= ndodhet poshtë grafikut të funksionit në x

Arsyetimi ynë na lejon të verifikojmë vlefshmërinë e teoremave të mëposhtme:

Tema 1: Nëse është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse m=n.

Teorema 2: Nëse është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse, pabarazia është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse (Fig. *)

Teorema 4: Nëse është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse (Fig.**), pabarazia është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse Teorema 3: Nëse është e vërtetë nëse dhe vetëm nëse m=n.

Shembulli 5: Grafikoni funksionin y=

Le të modifikojmë funksionin duke zbatuar vetinë e shkallës y=

Le të ndërtojmë një sistem koordinativ shtesë dhe në sistemin e ri të koordinatave do të ndërtojmë një grafik të funksionit y = (y është i barabartë me dy me fuqinë x) Fig. 11.

Shembulli 6: Zgjidheni ekuacionin

Në një sistem koordinativ do të ndërtojmë dy grafikë të funksionit y=

(Y është e barabartë me shtatë me fuqinë e X dhe Y është e barabartë me tetë minus X) Fig. 12.

Grafikët kryqëzohen në një pikë E (1; (e me koordinatat një; shtatë). Kjo do të thotë se rrënja e ekuacionit është x = 1 (x e barabartë me një).

Shembulli 7: Zgjidhja e pabarazisë

Në një sistem koordinativ do të ndërtojmë dy grafikë të funksionit y=

(Y është e barabartë me një të katërtën e fuqisë së X dhe Y është e barabartë me X plus pesë). Grafiku i funksionit y= ndodhet poshtë grafikut të funksionit y=x+5 kur zgjidhja e mosbarazimit është intervali x (nga minus një në plus pafundësi).

Funksioni eksponencialështë një përgjithësim i prodhimit të n numrave të barabartë me a:
y (n) = a n = a·a·a···a,
në bashkësinë e numrave realë x:
y (x) = sëpatë.
Këtu a është një numër real fiks, i cili quhet baza e funksionit eksponencial.
Një funksion eksponencial me bazë a quhet gjithashtu eksponent ndaj bazës a.

Përgjithësimi kryhet si më poshtë.
Për x = natyrore 1, 2, 3,... , funksioni eksponencial është produkt i x faktorëve:
.
Për më tepër, ai ka veti (1.5-8) (), të cilat rrjedhin nga rregullat për shumëzimin e numrave. Për vlerat zero dhe negative të numrave të plotë, funksioni eksponencial përcaktohet duke përdorur formulat (1.9-10). Për vlerat thyesore x = m/n numra racionalë, , përcaktohet me formulën (1.11). Për real, funksioni eksponencial përcaktohet si kufiri i sekuencës:
,
ku është një sekuencë arbitrare e numrave racionalë që konvergojnë në x: .
Me këtë përkufizim, funksioni eksponencial përcaktohet për të gjitha , dhe plotëson vetitë (1.5-8), si për x natyral.

Një formulim rigoroz matematik i përkufizimit të një funksioni eksponencial dhe vërtetimi i vetive të tij është dhënë në faqen "Përkufizimi dhe vërtetimi i vetive të një funksioni eksponencial".

Vetitë e funksionit eksponencial

Funksioni eksponencial y = a x ka këto veti në bashkësinë e numrave realë ():
(1.1) të përcaktuara dhe të vazhdueshme, për , për të gjithë;
(1.2) për një ≠ 1 ka shumë kuptime;
(1.3) rritet rreptësisht në, zvogëlohet rreptësisht në,
është konstante në ;
(1.4) në ;
në ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Formula të tjera të dobishme.
.
Formula për konvertimin në një funksion eksponencial me një bazë të ndryshme eksponenciale:

Kur b = e, marrim shprehjen e funksionit eksponencial përmes eksponencialit:

Vlerat private

, , , , .

Figura tregon grafikët e funksionit eksponencial
y (x) = sëpatë
për katër vlera bazat e shkallës: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 dhe a = 1/8 . Mund të shihet se për një > 1 funksioni eksponencial rritet në mënyrë monotonike. Sa më e madhe të jetë baza e shkallës a, aq më e fortë është rritja. Në 0 < a < 1 funksioni eksponencial zvogëlohet në mënyrë monotonike. Sa më i vogël të jetë eksponenti a, aq më i fortë është ulja.

Duke u ngjitur, duke zbritur

Funksioni eksponencial për është rreptësisht monoton dhe për këtë arsye nuk ka ekstreme. Karakteristikat e tij kryesore janë paraqitur në tabelë.

Funksioni i anasjelltë

Anasjellta e një funksioni eksponencial me bazë a është logaritmi me bazën a.

Nese atehere
.
Nese atehere
.

Diferencimi i një funksioni eksponencial

Për të diferencuar një funksion eksponencial, baza e tij duhet të reduktohet në numrin e, të zbatohet tabela e derivateve dhe rregulli për diferencimin e një funksioni kompleks.

Për ta bërë këtë ju duhet të përdorni vetinë e logaritmeve
dhe formula nga tabela e derivateve:
.

Le të jepet një funksion eksponencial:
.
Ne e sjellim atë në bazën e:

Të zbatojmë rregullin e diferencimit të funksioneve komplekse. Për ta bërë këtë, prezantoni variablin

Pastaj

Nga tabela e derivateve kemi (zëvendësojmë variablin x me z):
.
Meqenëse është një konstante, derivati ​​i z në lidhje me x është i barabartë me
.
Sipas rregullit të diferencimit të një funksioni kompleks:
.

Derivat i një funksioni eksponencial

.
Derivat i rendit të n-të:
.
Nxjerrja e formulave > > >

Një shembull i diferencimit të një funksioni eksponencial

Gjeni derivatin e një funksioni
y = 3 5 x

Zgjidhje

Le të shprehim bazën e funksionit eksponencial përmes numrit e.
3 = e ln 3
Pastaj
.
Futni një ndryshore
.
Pastaj

Nga tabela e derivateve gjejmë:
.
Sepse 5ln 3është një konstante, atëherë derivati ​​i z në lidhje me x është i barabartë me:
.
Sipas rregullit të diferencimit të një funksioni kompleks, kemi:
.

Përgjigju

Integrale

Shprehje duke përdorur numra kompleks

Merrni parasysh funksionin e numrit kompleks z:
f (z) = a z
ku z = x + iy; i 2 = - 1 .
Le të shprehim konstanten komplekse a në terma të modulit r dhe argumentit φ:
a = r e i φ
Pastaj


.
Argumenti φ nuk është i përcaktuar në mënyrë unike. Në përgjithësi
φ = φ 0 + 2 πn,
ku n është një numër i plotë. Prandaj funksioni f (z) gjithashtu nuk është e qartë. Rëndësia e tij kryesore shpesh konsiderohet
.

Zgjerimi i serisë

.

Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009.