الرسم البياني إرشادي. الدالة الأسية وخصائصها ورسمها البياني. خصائص الدالة الثابتة

لنجد قيمة التعبير للقيم العقلانية المختلفة للمتغير x=2؛ 0; -3؛ -

لاحظ أنه بغض النظر عن الرقم الذي نستبدله بالمتغير x، يمكننا دائمًا إيجاد قيمة هذا التعبير. هذا يعني أننا نفكر في دالة أسية (E تساوي ثلاثة أس x)، محددة في مجموعة الأعداد النسبية: .

دعونا نبني رسمًا بيانيًا لهذه الوظيفة من خلال تجميع جدول قيمها.

لنرسم خطًا سلسًا يمر عبر هذه النقاط (الشكل 1)

باستخدام الرسم البياني لهذه الوظيفة، دعونا ننظر في خصائصها:

3. زيادات في جميع أنحاء منطقة التعريف.

1. نطاق القيم من الصفر إلى زائد اللانهاية.

8. الوظيفة محدبة للأسفل.

إذا قمنا بإنشاء رسوم بيانية للدوال في نظام إحداثي واحد؛ y=(y يساوي اثنين أس x، y يساوي خمسة أس x، y يساوي سبعة أس x)، ثم يمكنك أن ترى أن لديهم نفس خصائص y= (y يساوي ثلاثة أس x) (الشكل .2)، أي أن جميع الدوال بالشكل y = (y يساوي a أس x، إذا كان أكبر من واحد) سيكون لها مثل هذا ملكيات.

لنرسم الدالة:

1. إعداد جدول بقيمه.

دعونا نحدد النقاط التي تم الحصول عليها على المستوى الإحداثي.

لنرسم خطًا سلسًا يمر عبر هذه النقاط (الشكل 3).

باستخدام الرسم البياني لهذه الوظيفة، نشير إلى خصائصها:

1. مجال التعريف هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.

2. ليست زوجية ولا فردية.

3. النقصان في كامل نطاق التعريف.

4. ليس له القيم الأكبر ولا الأصغر.

5. محدودة أدناه، ولكن ليست محدودة أعلاه.

6. مستمر في كامل مجال التعريف.

7. مدى القيم من صفر إلى زائد ما لا نهاية.

8. الوظيفة محدبة للأسفل.

وبالمثل، إذا قمنا برسم الرسوم البيانية للدالة في نظام إحداثي واحد؛ y = (y يساوي نصف أس x، y يساوي خمس أس x، y يساوي سبع أس x)، فيمكنك ملاحظة أن لديهم نفس خصائص y = (y تساوي ثلث القوة x (الشكل 4)، أي جميع وظائف النموذج y = (y تساوي واحدًا مقسومًا على a أس x، مع أكبر من الصفر ولكن أقل من واحد) سيكون له مثل هذه الخصائص.

دعونا نبني الرسوم البيانية للوظائف في نظام إحداثي واحد

هذا يعني أن الرسوم البيانية للوظائف y=y= ستكون أيضًا متناظرة (y تساوي a أس x وy تساوي واحدًا مقسومًا على a أس x) لنفس قيمة a.

دعونا نلخص ما قيل من خلال تعريف الدالة الأسية والإشارة إلى خصائصها الرئيسية:

تعريف:دالة من الصيغة y=، حيث (a تساوي a للأس x، حيث a موجب ومختلف عن الواحد)، تسمى دالة أسية.

من الضروري أن نتذكر الاختلافات بين الدالة الأسية y= ودالة الطاقة y=, a=2,3,4,…. سواء سمعيا أو بصريا. الدالة الأسية Xهي قوة، ولوظيفة السلطة Xهو الأساس.

مثال1: حل المعادلة (ثلاثة أس x يساوي تسعة)

(Y تساوي ثلاثة أس X وY تساوي تسعة) الشكل 7

لاحظ أن لديهم نقطة مشتركة واحدة M (2;9) (em بإحداثيات اثنين؛ تسعة)، مما يعني أن حدود النقطة ستكون جذر هذه المعادلة. أي أن المعادلة لها جذر واحد x = 2.

مثال 2: حل المعادلة

في نظام إحداثي واحد، سنقوم ببناء رسمين بيانيين للدالة y= (y تساوي خمسة أس x و y تساوي واحدًا على خمسة وعشرين) الشكل 8. تتقاطع الرسوم البيانية عند نقطة واحدة T (-2; (te مع الإحداثيات ناقص اثنين؛ واحد وخمسة وعشرين). وهذا يعني أن جذر المعادلة هو x = -2 (الرقم ناقص اثنين).

مثال 3: حل المتراجحة

في نظام إحداثي واحد، سنقوم بإنشاء رسمين بيانيين للدالة y=

(Y يساوي ثلاثة أس X وY يساوي سبعة وعشرين).

الشكل 9: يقع الرسم البياني للدالة أعلى الرسم البياني للدالة y=at

x وبالتالي فإن حل المتراجحة هو الفترة (من سالب ما لا نهاية إلى ثلاثة)

مثال 4: حل المتراجحة

في نظام إحداثي واحد، سنقوم بإنشاء رسمين بيانيين للدالة y= (y تساوي ربع أس x وy تساوي ستة عشر). (الشكل 10). تتقاطع الرسوم البيانية عند نقطة واحدة K (-2;16). هذا يعني أن حل المتراجحة هو الفترة (-2؛ (من سالب اثنين إلى زائد ما لا نهاية)، حيث أن الرسم البياني للدالة y= يقع أسفل الرسم البياني للدالة عند x

يسمح لنا منطقنا بالتحقق من صحة النظريات التالية:

الموضوع 1: إذا كان صحيحاً إذا وفقط إذا كان m=n.

النظرية 2: إذا كانت صحيحة إذا وفقط إذا، تكون عدم المساواة صحيحة إذا وفقط إذا (الشكل *)

النظرية 4: إذا كانت صحيحة إذا وفقط إذا (الشكل**)، تكون المتراجحة صحيحة إذا وفقط إذا النظرية 3: إذا كانت صحيحة إذا وفقط إذا كانت m=n.

مثال 5: ارسم بيانيًا الدالة y=

دعونا نعدل الدالة من خلال تطبيق خاصية الدرجة y=

لنقم ببناء نظام إحداثي إضافي وفي نظام الإحداثيات الجديد سنقوم ببناء رسم بياني للدالة y = (y يساوي اثنين أس x) الشكل 11.

مثال 6: حل المعادلة

في نظام إحداثي واحد، سنقوم بإنشاء رسمين بيانيين للدالة y=

(Y تساوي سبعة أس X وY تساوي ثمانية ناقص X) الشكل 12.

تتقاطع الرسوم البيانية عند نقطة واحدة E (1؛ (e بإحداثيات واحد؛ سبعة)، وهذا يعني أن جذر المعادلة هو x = 1 (x يساوي واحدًا).

مثال 7: حل المتراجحة

في نظام إحداثي واحد، سنقوم بإنشاء رسمين بيانيين للدالة y=

(Y تساوي ربع أس X وY تساوي X زائد خمسة). الرسم البياني للدالة y=يقع أسفل الرسم البياني للدالة y=x+5 عندما يكون حل المتراجحة هو الفاصل الزمني x (من سالب واحد إلى زائد ما لا نهاية).

الدالة الأسيةهو تعميم لمنتج أرقام n يساوي:
ذ (ن) = أ ن = أ·أ·آ···أ,
لمجموعة الأعداد الحقيقية x :
ذ (خ) = الفأس.
هنا a هو عدد حقيقي ثابت، وهو ما يسمى أساس الدالة الأسية.
تسمى أيضًا الدالة الأسية ذات الأساس a الأس للقاعدة أ.

ويتم التعميم على النحو التالي.
للطبيعي x = 1, 2, 3,... ، الدالة الأسية هي منتج عوامل x:
.
علاوة على ذلك، فإن لها خصائص (1.5-8) ()، والتي تتبع قواعد ضرب الأرقام. بالنسبة للقيم الصفرية والسلبية للأعداد الصحيحة، يتم تحديد الدالة الأسية باستخدام الصيغ (1.9-10). بالنسبة للقيم الكسرية x = m/n الأعداد النسبية، يتم تحديدها بالصيغة (1.11). في الواقع، يتم تعريف الدالة الأسية على أنها نهاية التسلسل:
,
حيث يكون التسلسل التعسفي للأرقام العقلانية متقاربًا إلى x: .
وبهذا التعريف يتم تعريف الدالة الأسية للجميع، وتحقق الخصائص (1.5-8)، كما هو الحال في x الطبيعية.

توجد صياغة رياضية دقيقة لتعريف الدالة الأسية وإثبات خصائصها في صفحة "تعريف وإثبات خصائص الدالة الأسية".

خصائص الدالة الأسية

الدالة الأسية y = a x لها الخصائص التالية في مجموعة الأعداد الحقيقية ():
(1.1) محددة ومستمرة، من أجل، للجميع؛
(1.2) ل ≠ 1 له معاني كثيرة؛
(1.3) يزيد بشكل صارم في ، يتناقص بشكل صارم في ،
ثابت عند ؛
(1.4) في ؛
في ؛
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

صيغ مفيدة أخرى.
.
صيغة للتحويل إلى دالة أسية ذات أساس أسي مختلف:

عندما b = e، نحصل على تعبير الدالة الأسية من خلال الأسي:

القيم الخاصة

, , , , .

يوضح الشكل الرسوم البيانية للدالة الأسية
ذ (خ) = الفأس
لأربع قيم قواعد الدرجة: أ = 2 ، أ = 8 ، أ = 1/2 و = 1/8 . ويمكن ملاحظة أن ل> 1 تزيد الدالة الأسية بشكل رتيب. كلما كانت قاعدة الدرجة أ أكبر، كان النمو أقوى. في 0 < a < 1 تنخفض الدالة الأسية بشكل رتيب. كلما كان الأس أصغر، كان الانخفاض أقوى.

تنازلي تصاعدي

الدالة الأسية لـ هي رتيبة تمامًا، وبالتالي لا تحتوي على نقاط متطرفة. يتم عرض خصائصه الرئيسية في الجدول.

وظيفة عكسية

معكوس الدالة الأسية ذات الأساس a هو لوغاريتم الأساس a.

اذا ثم
.
اذا ثم
.

تمايز الدالة الأسية

للتمييز بين دالة أسية، يجب تقليل قاعدتها إلى الرقم e، وتطبيق جدول المشتقات وقاعدة التمييز بين دالة معقدة.

للقيام بذلك تحتاج إلى استخدام خاصية اللوغاريتمات
والصيغة من جدول المشتقات:
.

دع الوظيفة الأسية تعطى:
.
نأتي به إلى القاعدة ه:

دعونا نطبق قاعدة التمايز بين الوظائف المعقدة. للقيام بذلك، أدخل المتغير

ثم

من جدول المشتقات لدينا (استبدل المتغير x بـ z):
.
بما أنه ثابت، فإن مشتقة z بالنسبة إلى x تساوي
.
وفقًا لقاعدة التمايز لوظيفة معقدة:
.

مشتق من الدالة الأسية

.
مشتق من الترتيب ن:
.
اشتقاق الصيغ > > >

مثال على اشتقاق الدالة الأسية

أوجد مشتقة الدالة
ص = 3 5 س

حل

لنعبر عن أساس الدالة الأسية من خلال الرقم e.
3 = ه لن 3
ثم
.
أدخل متغيرا
.
ثم

من جدول المشتقات نجد:
.
بسبب ال 5 لتر 3ثابت، فإن مشتقة z بالنسبة إلى x تساوي:
.
وفقًا لقاعدة اشتقاق دالة معقدة، لدينا:
.

إجابة

أساسي

التعبيرات باستخدام الأعداد المركبة

خذ بعين الاعتبار دالة الأعداد المركبة ض:
F (ض) = أ ض
حيث ض = س + iy؛ أنا 2 = - 1 .
دعونا نعبر عن الثابت المعقد a بدلالة المعامل r والوسيطة φ:
أ = ص ه ط φ
ثم


.
لم يتم تعريف الوسيطة φ بشكل فريد. على العموم
φ = φ 0 + 2 ن,
حيث n هو عدد صحيح. لذلك فإن الدالة f (ض)هو أيضا غير واضح. غالبا ما تؤخذ أهميتها الرئيسية في الاعتبار
.

توسيع السلسلة

.

مراجع:
في. برونشتاين، ك.أ. سيمنديايف، دليل الرياضيات للمهندسين وطلاب الجامعات، "لان"، 2009.